Сканави № 2.289

Решить уравнение:

Решение:

Введем обозначения:

Используем тот факт, что

и образуем комбинацию:

Тогда исходное уравнение можно заменить системой:

Раскладываем второе уравнение на множители:

Выделяем полные квадраты и группируем слагаемые:

Введем еще одну вспомогательную переменную  t = a + b ≥ 0,  которая согласно определению арифметического корня должна быть неотрицательной: a ≥ 0, b ≥ 0, → a + b ≥ 0. Тогда второе уравнение системы после такой подстановки и замены  (a - b)² → 4  запишется в виде:

Решаем кубическое уравнение  t³ + 4t - 16 = 0  по схеме Горнера (через угадывание целых корней среди делителей свободного члена: -16) и раскладываем кубический трехчлен на множители:

.

Первый (угаданный) корень кубического уравнения  t = 2  является единственным, поскольку оставшееся квадратное уравнение t² + 2t + 8 = 0 имеет отрицательный дискриминант (D = -28). Поэтому система запишется в виде:

Складываем и вычитаем уравнения системы:

Теперь решение исходного уравнения уже очевидно.

Web Design: Kurilin A.V. 2008