Сканави № 2.290

Решить уравнение:

Решение:

Введем обозначения:

Используем тот факт, что

и образуем комбинацию:

.

Тогда исходное уравнение можно заменить системой:

Преобразуем второе уравнение:

Введем еще одну вспомогательную переменную  t = ab ≥ 0, которая согласно определению арифметического корня должна быть неотрицательной: a ≥ 0, b ≥ 0, → ab ≥ 0. Тогда второе уравнение системы после такой подстановки и замены (a + b)² → 16 запишется в виде:

Решения квадратного уравнения  t² - 32t + 87 = 0 находим через формулу для дискриминанта деленного на четыре:

Получаем две различные системы уравнений, которые решаем обычной подстановкой:

	или
	или
	или

Вторая система не имеет вещественных решений, поскольку дискриминант полученного квадратного уравнения отрицателен. Для первой системы решения легко угадываются по теореме Виета:

	или
	или
	или
	или
	или

Теперь видно, что исходное уравнение имеет два решения.

О Т В Е Т:

Web Design: Kurilin A.V. 2008