Сканави 5.031

Сканави № 5.031

Решить уравнение:

Решение:

Используем связь тангенса с другими тригонометрическими функциями:

Получаем:

Приводим слагаемые к общему знаменателю и используем формулы для синуса и косинуса суммы:

	⇒
	⇒
	⇒
	⇒

Задача распалась на три простейших тригонометрических уравнения:

⇒

Найденные решения нужно проверить на совместность с областью допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения:

Заметим, что первое семейство решений

содержится внутри третьего семейства

при m = 3n, n, m ∈ Z (целые числа). Что касается второго семейства решений

то при k = 2n, (n, k ∈ Z) мы получаем решения из первого семейства, которые уже присутствуют в третьем, а при k = 2n + 1, (n, k ∈ Z) полученные решения не удовлетворяют ОДЗ: cosx ≠ 0. Таким образом, задача имеет только одну независимую серию решений.

О Т В Е Т:

Web Design: Kurilin A.V. 2008