Задачи по Теории Вероятностей

Национальный Институт имени Екатерины Великой
Контрольные упражнения по курсу для студентов заочной формы обучения по специальностям экономики и менеджмента

“МАТЕМАТИКА”

Часть 2-я - теория вероятностей и математическая статистика.

I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 1. Основные определения и теоремы.

Вопросы

1. Классическое и статистическое определение вероятности случайного события.
2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
3. Теорема умножения вероятностей.

Упражнения

1. Номер серии выигрышного билета вещевой лотереи состоит из пяти цифр. Определить вероятность того, что номер первой выигравшей серии будет состоять из одних нечетных цифр.
2. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго - 0,8 и для третьего - 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь один станок потребует вмешательства рабочего
3. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность того, что, по крайней мере, один из четырех билетов выиграет?
4. В партии из 100 одинаковых по наружному виду изделий смешаны 40 штук I сорта и 60 штук II сорта. Найти вероятность того, что взятые наудачу два изделия окажутся а) одного сорта, б) разных сортов.
5. Набор трехзначного номера выигравшей облигации выполняется трехкратным автоматическим выбрасыванием из урны подряд трех жетонов из общего числа пяти жетонов с номерами 1—5. Найти вероятность того, что набранный так номер не содержит цифры 3.
6. Детали для сборки вырабатываются на двух станках, из которых первый производит деталей в 3 раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 0,025, а в выпуске второго — 0,015. Одна взятая наудачу деталь оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она выработана на втором станке.

Тема 2. Повторные независимые испытания.

Упражнения

1. В партии деталей двух сходных форматов число крупных деталей вдвое больше числа мелких. Детали сложены без всякого порядка. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 10 деталей окажется 6 крупных?
2. В хлопке имеется 10% коротких волокон. Какова вероятность того, что в наудачу взятом пучке из пяти волокон окажется не более двух коротких?
3. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Определить вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.
4. С помощью асимптотической формулы биномиального распределения найти вероятность того, что среди наудачу взятых 100 деталей 55 окажутся отполированными, если в общей массе деталей имеется поровну отполированных и не отполированных.
5. Штамповка металлических клемм для соединительных пластин дает 20% брака. Пользуясь теоремой Лапласа, определить вероятность наличия от 100 до 125 клемм, не соответствующих стандарту, в партии из 600 клемм.

Тема 3. Случайная величина и ее числовые характеристики.

1. По таблице распределения случайной величины
   
   

xi	0	1	2	3	4
pi	0,1	0,3	0,3	0,2	0,1

определить ее среднее значение, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

2. По данной таблице распределения случайной величины определить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

xi	4	6	8	10	12
pi	0,3	0,15	0,18	0,17	0,2

3. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины, заданной следующей таблицей распределения:

xi	3	5	8	12	17	23
pi	0,2	0,16	0,24	0,2	0,14	0,06

4. При обследовании группы спортсменов в составе 25 человек в отношении размеров окружности груди установлено было, что у троих этот размер оказался равным 88 см, у четверых — 92 см, у пятерых — 96 см, у шестерых — 98 см и у семерых — 100 см. Определить среднее значение размера окружности груди у членов этой группы и среднее квадратичное отклонение.

Тема 4. Закон больших чисел.

1. Вероятность положительного исхода отдельного испытания p = 0,8. Оценить вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклонение частотности положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по своей абсолютной величине будет меньше 0,05.
2. Сколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства
   превысила 0,78, если вероятность появления данного события в отдельном испытании p = 0,7?
3. Вероятность наличия зазубрин на металлических брусках, заготовленных для обточки, равна 0,2. Оценить вероятность того, что в партии из 1000 брусков отклонение числа пригодных брусков от 800 не превышает 5%.
4. Для каждой из 1500 независимых случайных величин дисперсия не превышает 3. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит (по своей абсолютной величине) числа 0,4.
5. Принимая вероятность вызревания кукурузного стебля с 3 початками p = 3/4, оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 3000 стеблей опытного участка число таких стеблей окажется от 2190 до 2310 включительно.

II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Тема 5. Выборка и ее распределения.

Вопросы:

1. Выборочная и генеральная совокупность. Типы выборок.
2. Полигон частот и гистограмма.

Упражнения

1. Проверено 3000 патронов из всего их выпуска. При этом доля брака составила 0,15. Найти вероятность того, что отклонение доли брака в выборке от генеральной доли не превышает по абсолютной величине 0,01, если выборка повторная.
2. По данным выборки, представленным вариационным рядом

найти выборочную среднюю:

и выборочную дисперсию:

Тема 6. Проверка статистических гипотез

Вопросы.

1. Статистическая гипотеза. Ошибки первого и второго рода.
2. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы.
3. Критерий Пирсона.

Тема 7. Регрессионный и дисперсионный анализ.

Упражнения

1. Данные статистической обработки сведений по двум основным показателям (x) и (y) отражены в корреляционной таблице.

Y \ X	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	Итого
50	2	1											3
60	1	2		1	1								5
70	3	3	1	1									8
80			1	1	5	3	2						12
90			1	6	5	9	5	2		1		1	30
100			1	6	6	20	8	2		1			44
110		1		3	9	15	6	4	1	1		2	42
120				1		8	5	6	2	1	1	2	26
130					4	4	3	5	4				20
140								4	1		1	2	8
150						1					2	3	6
160					1		2	1			1	4	10
Итого	6	7	4	19	31	61	31	24	8	4	5	14	214

Найти уравнение прямой регрессии y на x и определить коэффициент корреляции.

2. Распределение имеющихся на участке 400 молодых сосен по общей длине ствола в сантиметрах (x) и длине его части без ветвей (y) дается в следующей таблице:

Y \ X	14	18	22	26	30	34	38	42	Итого
25	17	5							22
45	15	35	25	7					82
65	1	1	39	15					56
85	5	1	15	31	17				69
105			7	3	51				61
125					5	35	13		53
145						19	33	5	57
Итого	38	42	86	56	73	54	46	5	400

По этим данным определить коэффициент корреляции.

3. По данным о значениях x и y найти параметры a и b по способу наименьших квадратов, полагая, что x и y связаны зависимостью: y = ax + b.

4. Рост производительности труда на предприятии за пять лет отражен в следующей таблице:

Решение всех контрольных упражнений

Файл с решением задач (632 Kb) сохранен в формате DjVu, который открывается в окне Internet Explorer после установки вспомогательной программы (плагина). Установка DjVu-плагина.

Web Design: Kurilin A.V. 2003-2016