ЗАДАЧИ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА

Задача №1.

В треугольнике CDE длина CD равна 2, длина DE равна 5. Из вершины D проведен отрезок DM
(M Î CE), причем ÐCDM = 60° и ÐMDE = 45 ° . a) В каком отношении точка M делит сторону CE?
b) Вычислить длины отрезков CM и ME.

Задача №2.

Найдите все решения уравнения: .

Задача №3.

Среди водителей провели опрос. На вопрос “Какие автомобили Вы предпочитаете?” - большая часть ответила: “Импортные”, меньшая: “Отечественные”, а три респондента: “Затрудняюсь ответить”. Далее выяснили, что среди любителей отечественных машин 30% предпочитают “Волгу”, а 70% - “Жигули”. У любителей иностранных машин уточнили, какую именно марку они предпочитают. Оказалось, что 62,5% выбрали “Форд”, 31,25% - “Вольво” и лишь один - “Таврию”. Сколько водителей было опрошено?

Задача №4.

Среди постоянных жителей курортного города K 7% предпочитают отдыхать на море. Летом 64% постоянных жителей уезжает из города, но общая численность населения за счет приезжающих туристов составляет 6/5 от численности постоянного населения в зимний период. Определить долю любителей морского отдыха среди общей численности населения в летний период, если их доля среди постоянных жителей не изменилась, а приезжающие туристы отдыхать на море не любят.

Задача №5.

В четырехугольнике ABCD длина стороны AD равна 6, длина стороны CD равна 5, косинус угла ÐADC равен 1/2, синус угла ÐBCA равен 1/4. Найти сторону BC, если известно, что окружность, описанная около треугольника ABC, проходит также через точку D.

Задача №6.

Найти все натуральные значения параметра n, при каждом из которых задача: “Найти арифметическую прогрессию, если известны ее девятнадцатый член и сумма n первых членов” не имеет решений или ее решением является бесконечное множество арифметических прогрессий.

Задача №7.

Для улучшения собираемости налогов правительство может провести одну бесплатную рекламную акцию на государственном телеканале, а также может увеличить штат налоговых инспекторов и повысить зарплату налоговой полиции. Рекламная акция по телевидению увеличивает количество граждан, подавших налоговые декларации, на 10000 человек; каждое увеличение штата налоговых инспекторов увеличивает количество поданных деклараций на 40% и требует 31 млн. руб.; каждое повышение зарплаты налоговой полиции увеличивает количество поданных деклараций на 60% и требует 42 млн. руб. Определить количество и последовательность проведения этих мероприятий, если на эти цели из бюджета можно израсходовать не более 123 млн. руб.

Задача №8.

В четырехугольник ABCD вписана окружность радиуса 2. Угол ÐDAB прямой. Сторона AB равна 5, сторона BC равна 6. Найти площадь четырехугольника ABCD.

Задача №9.

В городе N за последний год численность населения уменьшилась на 4%, а число безработных увеличилось на 5%. Сколько процентов от общего числа жителей составляют безработные, если год назад их было 8%?

Задача №10.

Диагональ AC выпуклого четырехугольника ABCD является диаметром описанной около него окружности. Найти отношение площадей S_ABC и S_ACD, если известно, что диагональ BD делит AC в отношении 2:1 (считая от точки A), а ÐBAC  = 30°.

Задача №11.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Радиус окружности равен 6,5 см., сторона AB равна 12 см. Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Найти CD.

Задача №12.

В городе N на должность мэра на выборах баллотировались три кандидата: Акулов, Баранов и Воробьев. В начале предвыборной кампании предпочтения избирателей распределились как 2 : 1 : 2. По окончании предвыборной гонки 40% избирателей города N отказались участвовать в выборах, у остальных же предпочтения не изменились. Сколько процентов сторонников каждого кандидата отказались от голосования, если по окончании предвыборной гонки соотношение голосов стало 3 : 2 : 2,5?

Задача №13.

Двое рабочих изготовили 300 деталей, причем вторым сделано на 60 деталей больше первого. Известно, что второй рабочий работал на 2 дня меньше первого, при этом в день изготовлял на 8 деталей больше. Сколько деталей в день делал каждый рабочий?

Задача №14.

Фирма продавала чай в центре города по 7 рублей, а кофе по 10 рублей за стакан, на вокзале - по 4 рубля и по 9 рублей соответственно. Всего было продано за час 20 стаканов чая и 20 стаканов кофе, при этом выручка в центре и на вокзале оказалась одинаковой. Сколько стаканов кофе было продано в центре?

Задача №15.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия содержит член b_n = 1/6. Отношение суммы членов прогрессии, стоящих перед b_n к сумме членов, стоящих после b_n равно 6. Найти n, если сумма всей прогрессии равна 3/4.

Задача №16.

Высота треугольника, равная 2, делит угол треугольника в отношении 2 : 1, а основание треугольника - на части, меньшая из которых равна 1. Определить площадь треугольника.

Задача №17.

Группа школьников решила купить музыкальный центр, при этом каждый внес одинаковую сумму. Однако в последний момент двое из них забрали деньги назад, и каждому из оставшихся пришлось добавить по 100 руб. Сколько школьников первоначально участвовало в покупке и какова цена музыкального центра, если известно, что она заключена в пределах от 17000 до 19500 руб?

Задача №18.

Популярность продукта A за 2002 год выросла на 20% , в следующем году она снизилась на 10% , а в конце 2004 года сравнялась с популярностью продукта B Популярность продукта B в 2002 году снизилась на 20% , затем на протяжении одного года не изменялась, а за 2004 год выросла на 40% . Как изменилась популярность продукта A за 2004 год, если в начале 2002 года она составляла 2/3 от популярности продукта B.

Задача №19.

В треугольнике ABC угол при вершине B составляет p/3, а длины отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с вершинами A и C равны 4 и 6 соответственно. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Задача №20.

Три числа, являющиеся длинами ребер прямоугольного параллелепипеда с диагональю 6, образуют арифметическую прогрессию. Кубы этих числе также образуют арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

ОТВЕТЫ:

Задача №1.	,   ,
Задача №2.	x = - 1.
Задача №3.	29 водителей.
Задача №4.	0,21 или 21%.
Задача №5.
Задача №6.	n = 37.
Задача №7.	1) Реклама на ТВ,  2) 1 раз увеличить штат налоговых инспекторов,  3) 2 раза повысить зарплату налоговой полиции.
Задача №8.	SABCD = 300/17.
Задача №9.	8,75%
Задача №10.	SABC :  SACD = 7 : 8.
Задача №11.	CD = 5.
Задача №12.	Акулов - 40%, Баранов - 20%, Воробьев - 50%.
Задача №13.	Первый рабочий делал 10 деталей в день, второй - 18.
Задача №14.	5 стаканов кофе продано в центре (и 15 стаканов чая).
Задача №15.	n = 2.
Задача №16.	S = 11/3.
Задача №17.	20 школьников, цена - 18000 рублей.
Задача №18.	Выросла в 14/9 раза.
Задача №19.
Задача №20.	Все три числа равны  .

Решение задач вступительных экзаменов по Математике

Файл с решением задач (530 Kb) сохранен в формате DjVu, который открывается в окне Internet Explorer после установки вспомогательной программы (плагина). Установка DjVu-плагина.

Web design: 2003 - 2011 Kurilin A.V.

Другие варианты задач