Национальный Институт имени Екатерины Великой. Математика, часть-1.

Задачи по Высшей Математике

Национальный Институт имени Екатерины Великой
Контрольные упражнения по курсу для студентов заочной формы обучения по специальностям экономики и менеджмента

“МАТЕМАТИКА”

Часть 1-я - аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ.

Тема 1. Декартова прямоугольная система координат.

2. На оси ординат найти точку, через которую проходит прямая, соединяющая точки
(-3;-2) и (2; 8).

3. По данным вершинам треугольника A(-9; 1), B(5; 0) и C(-5;-7) определить угловые коэффициенты медианы, проведенной из вершины B, и высоты, опущенной из вершины A.

4. По координатам трех вершин ромба A(1; 4), B(-3; 1) и C(4; 0) определить координаты четвертой вершины.

Тема 2. Прямая линия.

1. Написать уравнения перпендикуляров к прямой 3x + 5y - 15 = 0, проходящих через концы отрезков, отсекаемых этой прямой на осях координат.

2. Определить свободный член в уравнении прямой 5x + 4y + С = 0 если известно, что эта прямая проходит через точку пересечения прямых, заданных уравнениями 4х + 5у + 11 = 0 и 5х + у - 2 = 0.

3. По уравнениям сторон треугольника 2x - 3y + 10 = 0, x + y = 0 и 4x - y = 0 найти координаты точки пересечения его медиан.

4. Построить область, соответствующую системе неравенств:

Тема 3. Кривые второго порядка.

1. Вычислить длину хорды, образуемой пересечением прямой у = 4х с параболой у = 3 + 2х - х².

2. Составить уравнение осей симметрии равносторонней гиперболы, заданной уравнением:

3. Представить геометрически область, определяемую системой неравенств:

Тема 4. Элементы линейной алгебры.

1. Вычислить определитель:

2. Найти обратную матрицу A ^{- 1} для матрицы A:

3. Перемножить матрицы:

4. Решить матричным методом и методом Крамера:

5. Решить методом Гаусса систему уравнений:

Тема 5. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве.

1. Какой угол составляют между собой два вектора: a₁ = i + j - 4k и a₂ = i - 2j + 2k ?

2. Найти площадь параллелограмма, заданного векторами: r₁ = i - 3j + k и r₂ = 2i - j + 3k.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 1; 1) и (0; 1;-1) перпендикулярно плоскости x + y + z = 0.

Тема 6. Функциональная зависимость.

1. Дано:

найти f(1).

2. На предприятии действует прогрессивно-премиальная оплата труда, определяющая месячный заработок в процентах к установленной ставке в зависимости от процента выполнения плана на следующих условиях:

Доля выполнения плана (х)	Ниже 1,0	1,0	Свыше 1,0, но не более 1,03	Свыше 1,03, но не более 1,05	Свыше 1,05, но не более 1,1	Свыше 1,1
Выплата в долях ставки (у)	0,9	1,0	1,05	1,1	1,15	1,2

Представить в аналитическом виде соответствие между x и y, выражая значения y через ставку x.

3. Пользуясь методом сдвигов и растяжений (сжатий) построить график функции: y = 2x² - 12x + 14.

Тема 7. Пределы и непрерывность

1. Найти предел отношения x/lnх при х ® 0.

2. Найти:

3. Найти предел отношения:

при х ® 0.

4. Определить точки разрыва функции:

Тема 8. Производная и дифференциал

1. Найти производные следующих функций:

а)

б)

в)

и указать, при каких значениях x эти функции не имеют производной.

2. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = 5 - 3x² в точке с абсциссой x = -2.

3. Найти производную функции:

а)	у = (4x² - 1) ln(2x + 1)	д)
б)	y = х² e ^-2x	е)
в)	y = (x² + 2) sin2x + x cos2x	ж)	y = e^x^lnx
г)	y = 1 - 2x³

Тема 9. Приложения производной

1. Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением:
в точке с абсциссой x = - 1.

2. Исследовать на возрастание, убывание и на экстремумы функцию: y = 2x² - 8.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Установить размеры катетов, при которых треугольник будет иметь наибольшую площадь.

4. Выполнить исследование и построить график функции:

Тема 10. Неопределенный интеграл.

Вычислить интегралы:

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.		8.

Тема 11. Определенный интеграл.

1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями: y = x² и y = 8 - x².

2. Вычислить площадь фигуры, заключенной между гиперболой:
прямыми x = 3, x = 5 и осью Ox.

3. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси Ox фигуры, заключенной между кривой y = 2x - x² и осью Ox.

Тема 12. Числовые и степенные ряды.

1. Установить сходимость или расходимость числовых рядов:

a)
b)
c)
d)

2. Найти радиус сходимости следующих рядов:

a)	1 + 2x + 3x² + 4x³ + ...
b)
c)	1 + 4x + 9x² + 16x³ + ...

Тема 13. Функции нескольких независимых переменных

1. Найти частные производные первого порядка следующих функций:

a)	z = 2x²y + 4xy³
b)	z = (y sinx + y⁵)(5xy - tg2x)
c)

2. Найти экстремумы функции: z = xy² - x²y² - xy³, x > 0, y > 0.

Тема 14. Дифференциальные уравнения.

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: (1 + y³) xdx - (1 + x²) y²dy = 0.

2. Проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение:

3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

4. Решить линейное дифференциальное уравнение:

5. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение всех контрольных упражнений

Файл с решением задач (643 Kb) сохранен в формате DjVu, который открывается в окне Internet Explorer после установки вспомогательной программы (плагина). Установка DjVu-плагина.

Web Design: Kurilin A.V. 2003-2008