Задачи
по Высшей Математике
|
|
Задачи
по Высшей Математике
|
|
КАЛИНИНГРАДСКИЙ
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ
филиал Санкт-Петербургской
академии управления и экономики
Контрольная работа №2 по Математике
для студентов заочной формы обучения, специальностей: финансы и кредит, бухгалтерский
учёт, анализ и аудит, менеджмент организации, государственное муниципальное
управление.
Вариант-4
А. Случайные события и дискретные случайные величины.
Задание I. Вычислите:
.
Задание II. Дано: Р(А Ç В) = 0,4; РB(А) = 2/3; РА(В) = 3/4. Найдите Р(А), Р(В), Р (А È В) и выясните, зависимы ли события А, В?
Задание III. Пять машин случайным образом выстраиваются в колонну. Найдите вероятность того, что две конкретные машины окажутся: а) рядом; б) в начале колонны.
Задание IV. В тире имеется пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Найдите вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наугад.
Задание V. В семье четыре ребенка. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдите вероятность того, что среди этих детей: а) есть хотя бы один мальчик; б) не менее двух мальчиков.
Задание VI. Вероятность того, что абонент позвонит на АТС в течение часа, одинакова для всех абонентов и равна 0,01. АТС обслуживает 200 абонентов. Найдите вероятность того, что в течение часа на АТС последует: а) не менее двух звонков; б) хотя бы один звонок. Каково наивероятнейшее число звонков на АТС в течение часа?
Задание VII. Для дискретной случайной
величины X с данным рядом распределения:
а) составьте ряды распределения случайных величин Y = X
- 1 и Z = max {X;
0};
б) вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z;
в) постройте график функции распределения случайной величины X.
|
Xi |
- 4 |
- 1 |
1 |
3 |
4 |
6 |
|
pi |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,4 |
0,1 |
Задание VIII. Длительность междугородних телефонных разговоров распределена примерно по показательному закону, в среднем разговор продолжается 3 мин. Какова вероятность того, что очередной разговор будет длиннее 3 мин? Какая часть всех разговоров продолжается менее минуты?
Задание IX. Рассмотрим несколько различных операций (Q1, Q2, Q3) со случайным доходом. Вычислите для всех операций ожидаемый доход - Q, среднее квадратичное отклонение (СКО) - r. Нанесите эти характеристики на единый рисунок, получив графическое изображение операций. С помощью взвешивающей формулы E(Q, r) = 4Q - r найдите лучшую и худшую операции.
|
Q1 |
Xi |
- 10 |
0 |
10 |
30 |
|
pi |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
0,2 |
|
|
Q2 |
Xi |
- 10 |
0 |
10 |
30 |
|
pi |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
|
|
Q3 |
Xi |
- 10 |
0 |
10 |
30 |
|
pi |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
Б. Непрерывные случайные величины, системы случайных величин и математическая статистика.
Задание I. Случайная величина Y распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным двум, и средним квадратичным отклонением, равным единице. Пусть Х = 2Y + 5. Найдите вероятности Р(Х > 10), Р(2 < Х < 5), Р(Х < 2), Р(Х = 3). Напишите функции плотности и распределения для X и постройте их примерные графики. Как выглядит для случайной величины X правило "трех сигм"?
Задание II. Каждый двадцатый кредит не возвращается в срок. В этом году банк планирует выдать около 300 кредитов. Найдите вероятность того, что только не более 10 кредитов не будут возвращены в срок.
Задание III. По результатам
наблюдений: 13, 19, 19, 14, 15, 14, 17, 17, 18, 19, 15, 16, 15,
17, 18, 18, 17, 17, 16, 16 - постройте
дискретный вариационный ряд, многоугольник частостей, график выборочной функции
распределения. Подсчитайте:
а) выборочное среднее и выборочную дисперсию двумя способами;
б) несмещенную оценку дисперсии 
.
Придумайте правдоподобную генеральную совокупность или соответствующую случайную
величину.
Задание IV. Система случайных
величин (X, Y) имеет следующую таблицу
распределения. Найдите:
а) законы распределения компонент X, Y
и условный закон распределения компоненты X при условии,
что Y = 0; б) вероятность того,
что X меньше чем Y,
т.е. P(X < Y); в)
корреляционное отношение между случайными величинами Х
и Y.
|
X |
- 1 |
0 |
1 |
|
0 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
|
3 |
0,1 |
0,4 |
0,1 |
Задание V. Инвестор имеет возможность составить портфель из трех видов некоррелированных бумаг, эффективности Ei и риски s i которых даны в таблице. Рассмотрите все варианты составления портфеля из этих бумаг равными долями. Дайте графическое изображение всех этих портфелей точками (по осям координат - эффективность, риск). Есть ли точки, оптимальные по Парето?
|
i |
1 |
2 |
3 |
|
Ei |
2 |
6 |
12 |
|
si |
8 |
10 |
12 |
Задание VI. Сформируйте оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности, равной восьми, и некоррелированных рисковых ожидаемых эффективностей 16 и 20 с рисками 4 и 16 соответственно. Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции "short sale" и с какими ценными бумагами?
Задание VII. В таблице указаны курс акций E и эффективность рынка F на протяжении ряда кварталов. Найдите регрессию курса акции на эффективность рынка, а также оценки характеристик акций: "собственной" вариации n и a, b, R2 (эффективность безрисковых вложений равна 9).
E:
35
33
34
35
36
37
36
35
34
35
F:
20
19
19
20
20
21
22
20
19
20
Решение заданий контрольной работы
 |
Файл с решением
задач (668 Kb) сохранен в формате DjVu, который открывается в окне Internet
Explorer после установки вспомогательной программы (плагина). Установка
DjVu-плагина.
|
|
|
|
|
