Задача-4

Решение задания № 4

Экономический факультет МГУ. Отделение экономики, 1995 год.

Обозначим количество железной руды в тысячах тонн, добытой в первый год разработки за - x₁, во второй год разработки за - x₂, в третий год за - x₃ и т.д. Допустим, что увеличение годовой добычи руды на 25% по сравнению с предыдущим годом происходило в течение n лет. После этого руда добывалась еще на протяжении трех лет с неизменной годовой выработкой, так что x_n = x_n+1 = x_n+2 = x_n+3. Таким образом, общее количество лет - искомая величина t, в течение которых разрабатывалось месторождение, определяется соотношением: t = n + 3. Составим таблицу - отчет о количестве добытой руды.

год	количество руды (тыс. тонн)	формула	прогрессия
1	x₁	100	x₁
2	на 25% больше x₁	x₁ + 0,25×x₁	q×x₁
3	на 25% больше x₂	x₂ + 0,25×x₂	q²x₁
…	…	…	…
n	на 25% больше x_n-1	x_n-1 + 0,25× x_n-1	q^n-1x₁
n + 1	не изменялось	x_n	q^n-1x₁
n + 2	не изменялось	x_n	q^n-1x₁
n + 3	не изменялось	x_n	q^n-1x₁
ИТОГИ	850	x₁ + x₂+ …+ x_n+3	S_n + 3×x_n

Заметим, что ежегодный прирост в добыче на 25% по сравнению с предыдущим годом можно трактовать как ежегодное увеличение добычи руды в 1,25 раза. Следовательно, речь в задаче идет о геометрической прогрессии со знаменателем q = 1,25. А суммарный общий объем добытой руды - есть сумма n членов геометрической прогрессии плюс вклады трех последних лет, каждый из которых равен x_n. Воспользуемся известными формулами из теории геометрической прогрессии.

(1)

Получаем следующее уравнение: S_n + 3 × x_n = 850 или в развернутом виде:

(2)

Подставляем значения x₁ = 100, q = 1,25 и решаем уравнение для n.

400×(1,25ⁿ - 1) + 300×1,25^n-1 = 850	(3)
400×1,25ⁿ + 300×1,25^n-1 = 850 + 400 =1250	(4)
1,25^n-1×(400×1,25 + 300) = 1250	(5)
1,25^n-1×800 = 1250	(6)
1,25^n-1= 1250 / 800 = 1,5625 = 1,25²	(7)
n - 1 = 2	(8)
n = 3	(9)

Теперь находим общее количество лет, в течение которых разрабатывалось месторождение: t = n + 3 = 3 + 3 = 6.

О Т В Е Т: t = 6 лет

Web Design: Kurilin A.V. 2003-2007