Решение задания № 2

Экономический факультет МГУ. Отделение экономики, 1995 год.

	(1)	Решаем тригонометрическое уравнение. Данное уравнение эквивалентно системе (2).
	(2)	Дробь равна нулю в том случае, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
sin 3x = 0     Þ 3x = p n1,    n1 Î Z.	(3)	Первое уравнение системы (2) имеет простые решения, которые нумеруются некоторым целым числом n1 = 0, ±1, ±2, ±3,…
cos 2x ¹ -1/2    Þ 2x ¹ ±2p /3 + 2p n2,  n2 Î Z.	(4)	Второе уравнение системы (2) эквивалентно некоторому дополнительному условию, которому должны удовлетворять решения (3). Здесь n2 = 0, ±1, ±2, ±3,…- также целое число.
	(5)	Таким образом, решения уравнения (1) нужно искать среди точек единичной окружности, удовлетворяющих системе (5). Первые точки обозначим на окружности красным цветом, а вторые точки - синим.

Рис. 1	Рис. 2

Решение задачи будет состоять из всех точек единичной окружности, которые находятся на первом рисунке, но не принадлежат второму рисунку. Оставшиеся точки на окружности имеют общее название x = p n, где n Î Z. Именно эти точки являются решениями уравнения (1). Более формальный способ получения этого ответа состоит в том, что семейство решений первого уравнения (3) разбивается на три подмножества решений по правилу:

Из этих трех подмножеств только первое удовлетворяет условию (4) и именно оно является решением задачи.

Web Design: Kurilin A.V. 2003-2007